Борычев Алексей Леонтьевич родился в Москве в 1973 году. Окончил с отличием в 1997 году МГТУ имени Н. Э. Баумана по специальности «оптик-разработчик лазерных и опто-электронных приборов и систем». После окончания университета два года работал в институте общей физики РАН (ИОФ РАН), затем преподавал в московских вузах. В 2006 году окончил аспирантуру, а в 2007-м защитил диссертацию на соискание ученой степени «кандидат технических наук», автор двадцати научных публикаций. С 2009-го по 2011 год являлся редактором отдела поэзии журнала «Новая литература», в настоящее время — член литературного экспертного совета журнала «Северо-Муйские огни».
Как поэт начал печататься с 2004 года. Автор девяти поэтических книг. Стихи публиковались в периодике России, Украины, Казахстана, Молдавии, Германии, США, Финляндии, Израиля, Австралии, Узбекистана — во множестве печатных изданий, например, журналах «Крещатик», «Нева», «Новая Юность», «Юность», «Зинзивер», «Дальний Восток», «Смена», «Аврора», «Журнал ПОэтов», «Наш современник», «Волга 21 век», «День и ночь», «Кольцо А», «Московский вестник», «Север», «Второй Петербург», «Байкал», «Сура», «Южная звезда», «Аргамак», «Русский писатель», «Невский альманах», «Невечерний свет», «Мы», «Студия», «Московский вестник», «Второй Петербург», «Простор», «Слово/Word», «Перископ» и многих других, альманахах «Истоки», «День поэзии», «Новый Енисейский литератор», «Сияние лиры», «Муза», «Ковчег», в «Литературной газете», в газетах «Российский писатель», «Московский литератор», «Интеллигент. Москва», «День литературы» и «Культура», за рубежом — в журналах «Нива» (Казахстан), «Лава» (Украина), «Наше поколение» (Молдавия), «EDITA», «Студия», «Окна» (Германия), «Время и место» (США), «Русский свет» (Финляндия), «Жемчужина» (Брисбен, Австралия). Публиковался также в нескольких коллективных сборниках и антологии военной поэзии «Непобедима Русь Святая, том 3» (Москва).
О поэзии А. Борычева писали Л. Г. Баранова-Гонченко, Борис Левит-Броун и др.
Лауреат литературной премии В. К. Арсеньева (журнал «Литературный меридиан», 2013) в номинации «поэзия», премии журнала «Зинзивер» (2016) в номинации «поэзия». Лауреат конкурсов «Дебют года. 2014», «Звезда Рождества» (2016), финалист международного конкурса журнала «Окна» (Германия, 2012), международного конкурса «Эмигрантская лира» (2013), конкурса программы «Вечерние стихи» (газета «Вечерняя Москва», 2013) на звание «Лучший поэт 2013 года». Награждён литературной медалью «А. С. Грибоедов», медалью «55 лет Московской городской писательской организации», дипломом «За верное служение отечественной литературе» (СП РФ).
Член Союза писателей России. Живет в Москве.